Sistemas Discretos y Continuos

Con los avances tecnológicos, tanto en electrónica como en computadoras, la mayoría de los sistemas de datos y de control automático, han evolucionado a procesadores digitales y sistemas que operan con computadoras, a los cuales se le conoce como SISTEMAS DISCRETOS.


Lo contrario de los SISTEMAS CONTINUOS, lo cual operan con señales analógicas y su principal característica es presentar continuidad (tanto en magnitud como en tiempo).
Ejemplo: manipulan la información mediante señales analógicas: 
voltaje, corriente, presión, temperatura, posición o alguna otra variable física.

TRANSFORMADA DE FOURIER EN UN PULSO

Graficando la funcion

f (r) = x * (sin (r * t / 2) / (r * t / 2))   Valores de t = 1, 5, 50  

usamos la funcion  F (r) = x * t * sinc (R * T / 2)

   

Código con t=1

 t = 1;

 x = 1;

 r = [-10:0.1:10];

 y = x * t * sinc ((r * t / 2));

 plot (r, y, '* negro " )

 la red de

 título ( "grafica de la funcion omega ' )

 xlabel ( 'r' )

 ylabel ( 'F (r) )

Codigo con t=5 

Codigo t=50

Sumatoria de Fourier

Programa de Matlab que grafique la aproximacion de esta funcion, dependiendo del numero N que se desee para limitar la sumatoria

Esta función se puede definir como x(t) = t , desde -1 a 1, con un periodo To=2

Procedemos a realizar un código en matlab que resuelva la integral de la función x(k) y haga la sumatoria para un determinado número de k y que finalmente gráfique x(t) de tal manera que sea muy similar a la función x(t) original.

Matlab Codigo:


clear all
clc
syms k
syms t

fxt=t; %Funcion x(t)=t
Ti=2; %Periodo de la función
w=(2*pi)/Ti;

fxki=fxt*exp(-1i*w*k*t);
fxk=(1/Ti)*int(fxki,-1,1);
disp(fxk); %Resultado de la funcion fxk

N=30; %Numero de sumatorias establecidas para la serie de Fourier
xt=0;

for kN=-N:1:N %Valor de K para cada evaluacion en N

    if kN==0
        xik=0; %Este valor se obtiene por L'Hopital ya que cuando k=0 se da una indeterminacion
    else
      xi=fxk*exp(1i*w*k*t);
      xik=subs(xi,k,kN);
    end
 
   disp(kN)
   disp(xik)
   xt=xt+xik; %Sumatoria de Fourier
end

disp(xt)%Resultado de x(t)

for ti=-2:0.005:2 %Intervalo de tiempo de la funcion
      xti=subs(xt,t,ti);
      plot(ti,xti)
      grid on
      hold on
      xlabel('Tiempo t')
      ylabel('Aproximación de x(t)')
      title('Sumatoria de Fourier para x(t)')  
end

Resumen Parseval

En pocas palabras la relacion de parseval demuestra que la Transformada de Fourier es unitaria.., Es decir, que la suma (o la integral) del cuadrado de una función es igual a la suma (o a la integral) del cuadrado de su transformada.

En conclusión, el teorema de parseval para señales de potencias periodicas nos dice que la potencia media total de una señal periodica es igual a la suma de las potencias de sus componentes espectrales.


Esta propiedad es importante en el analisis de señales digitales, pues en muchas aplicaciones nos interesa determinar y conocer la potencia o energia asociada con una señal, mas que esa señal propiamente dicha

Tarea febrero 22

Para que sirve que un sistema sea LTI ?


Un sistema LTI como su nombre lo indica es un sistema lineal invariante en el tiempo, que la señal de salida o respuesta solo depende de la entrada y no del tiempo que se aplica.


De 5 ejemplos de sistemas LTI?
u un capacitor, resistencias, bobinas, un pendulo, un resorte


La convolucion como se relaciona con sistemas LTI?
la convolucion es un sistema LTI, .  este es una operacion en donde tomamos 2 señales y obtenemos una tercera. La convolucion determina la salida del sistema por medio del conocimiento de la entrada y la respuesta al impulso del sistema

Sistemas de tiempo continuo

Una señal en tiempo continuo es aquella que puede tomar cualquier valor en cualquier instante de tiempo, donde la variable independiente tiempo puede ser cualquier instante desde - infinito a + infinito.



Ejemplo 2.6


Considere un circuito que está conectado en serie con un resistor R=1Ω a un inductor L=1H, con un voltaje de V (t) = Bu (t), y  Io Amp es la corriente inicial en el inductor. Encuentre y resuelva la ecuación diferencial para B=1 y B=2 para condiciones iniciales de =1 y =0, respectivamente. Determine el cero de entrada y el cero de salida. Bajo que condiciones es el sistema lineal e invariante en el tiempo?

Al solucionar el sistema: 

Bueno para el codigo en matlab:

•  Para ello, es necesario definir el punto final de tiempo donde se desea evaluar la variable independiente.(Procesos Finitos).
• Como es una señal aperiódica, el valor característico es la constante de tiempo τ , la cual corresponde al tiempo que tardaría el sistema en llegar al valor final si se dejase con la velocidad inicial de arranque.

Generamos el codigo para condiciones invariables en el tiempo

1) Io=1  B=1

2) Io=1  B=2

3) Io=0  B=1

4) Io=0  B=2 

1) 

clc

t = 0:0.00001:8;

B = 1;     % asignamos las variables del sistema no LTI

Io = 1;

part1 = Io.*exp(-t);  %escribimos la ecuacion del sistema 

part2 = B.*(1-exp(-t)); 

itotal = part1 + part2;

plot(t,part1,'--b')   % graficamos y colocamos color a diferente comportamiento

title ('Grafica de Corriente vs Tiempo')

plot(t,part2,'--r')

plot(t,itotal,'g')

axis([0 8 -0.1 1.1]) % para establecer los limites del eje

j = legend('Corriente Io','Dependiente B','I Total',3);  % la ''legenda'' para la identificacion de la grafica

set(j,'Interpreter','none','Location','East') 

xlabel ('Tiempo [t]')

ylabel ('Corriente [A]')

hold on

grid on

2) 

clc

t = 0:0.00001:8;

B = 2;     % asignamos las variables del sistema no LTI

Io = 1;

part1 = Io.*exp(-t);  %escribimos la ecuacion del sistema 

part2 = B.*(1-exp(-t)); 

itotal = part1 + part2;

plot(t,part1,'--b')   % graficamos y colocamos color a diferente comportamiento

title ('Grafica de Corriente vs Tiempo')

plot(t,part2,'--r')

plot(t,itotal,'g')

axis([0 8 -0.1 1.1]) % para establecer los limites del eje

j = legend('Corriente Io','Dependiente B','I Total',3);  % la ''legenda'' para la identificacion de la grafica

set(j,'Interpreter','none','Location','East') 

xlabel ('Tiempo [t]')

ylabel ('Corriente [A]')

hold on

grid on

3)clc

t = 0:0.00001:8;

B = 1;     % asignamos las variables del sistema no LTI

Io = ;

part1 = Io.*exp(-t);  %escribimos la ecuacion del sistema 

part2 = B.*(1-exp(-t)); 

itotal = part1 + part2;

plot(t,part1,'--b')   % graficamos y colocamos color a diferente comportamiento

title ('Grafica de Corriente vs Tiempo')

plot(t,part2,'--r')

plot(t,itotal,'g')

axis([0 8 -0.1 1.1]) % para establecer los limites del eje

j = legend('Corriente Io','Dependiente B','I Total',3);  % la ''legenda'' para la identificacion de la grafica

set(j,'Interpreter','none','Location','East') 

xlabel ('Tiempo [t]')

ylabel ('Corriente [A]')

hold on

grid on

4)clc

t = 0:0.00001:8;

B = 2;     % asignamos las variables del sistema no LTI

Io = 0;

part1 = Io.*exp(-t);  %escribimos la ecuacion del sistema 

part2 = B.*(1-exp(-t)); 

itotal = part1 + part2;

plot(t,part1,'--b')   % graficamos y colocamos color a diferente comportamiento

title ('Grafica de Corriente vs Tiempo')

plot(t,part2,'--r')

plot(t,itotal,'g')

axis([0 8 -0.1 1.1]) % para establecer los limites del eje

j = legend('Corriente Io','Dependiente B','I Total',3);  % la ''legenda'' para la identificacion de la grafica

set(j,'Interpreter','none','Location','East') 

xlabel ('Tiempo [t]')

ylabel ('Corriente [A]')

hold on

grid on

Señales periodicas y no periodicas

una señal periodica es una funcion cuyo valor no cambia cuando su argumento se incrementa en un cierto numero distinto de cero se llama el periodo de la funcion


t=[-5:0.01:10];
x= cos(t);
plot(t,x,'.black')
grid on 
hold on


grafica en matlab:

t=[-20:0.1:20];

x=cos(t);

R=0.5;

y=R+x;plot(t,x,'black*',t,y,'red-',t,R,'blu.')

grid on  

hold on

grafica en matlab

Señal no periodica o aperiodica

Una señal no periódica, cambia constantemente sin exhibir ningún patrón o ciclo que se repita en el tiempo. Sin embargo, se ha demostrado mediante una técnica denominada transformada de Fourier, que cualquier señal no periodica puede ser descompuesta en un número infinito de señales periódicas.





t=[-20:0.01:20];
x=cos(t);
u=t.*(t<0)+cos(2*t).*(t>0)+0,5.*(t>0);
w=x+u;
plot(t,x, 'black-',t,u,'b',t,w,'r');
hold on 
grid on

Sistemas y Señales 2da semana

se conocio acerca de como se trabaja una señal integrada y derivada. Se concluyo a traves de ejemplos de tiempos de muestreo la ley  de gauss.
Se volvio a refrescar sobre complejos, reales e identidades , y asu vez se refresco algunos detalles importantes de programacion en Matlab.

Sistemas y señales 1era semana

En la primera semana de estudio con el profesor o docente Cesar Aceros empezamos hablando de los contenidos de estudio durante el semestre y asi mismo nos dio tips de aprendizaje.
Tambien vimos lo que tuvo que ver con los tipos de señales que existen y sus caracteristicas de una manera muy clara y rapida.

1ra semana Sistemas y señales   23 - 27 de enero